Quantum mechanics Chapter1 一维势场与定态问题

❏ Part 1 求势能函数$V(x)$及粒子能量$E$ ★✰✰✰✰

◆ Problem 1 ◆

        质量为$m$的粒子处于能量为$E$的本征态,波函数为$\psi \left( x \right) =Axe^{-\frac{1}{2}a^2x^2}$,问粒子在什么样的位势中运动？

◆ Problem 2 ◆

        设粒子的波函数$\psi \left( x \right) =A\left( \frac{x}{a} \right) ^ne^{-x/a}$是一维势$V(x)$中的粒子能量本征态，其中$A$,$a$和$n$为常数. 当$x\rightarrow \infty$时，$V\rightarrow 0$.试求势能$V(x)$和粒子能量$E$. 粒子质量为$\mu$.

❏ Part 2 归一化波函数 ★★✰✰✰

◆ Problem 1 ◆

        设$\psi \left( x \right) =Ae^{-\alpha ^2x^2/2}$, $\alpha$是常数，求归一化常数$A$.

◆ Problem 2 ◆

        粒子在一维无限深方势阱中运动$\left( |x|\leqslant a \right) $，设

$\psi \left( x \right) =A\sin \frac{\pi x}{a}$

        求归一化常数$A$. 设$\psi \left( x \right) =Ax\left( a-x \right) $ ，$A=?$ 粒子在何处概率最大$?$

◆ Problem 3 ◆

        一维自由粒子的初态波函数为高斯型波包：

$\psi \left( x,0 \right) =Ae^{-\alpha x^2}e^{ikx}\left( \alpha >0 \right) $

  $(1)$.求归一化系数$A$
  $(2)$.若$\alpha =1\mathrm{nm}^{-2}$，计算$A$的具体数值.

◆ Problem 4 ◆

         [2010SCU.T1] 沿直线运动的粒子波函数为$\psi \left( x \right) =\frac{1+ix}{1+ix^2}$：

$\psi \left( x,0 \right) =Ae^{-\alpha x^2}e^{ikx}\left( \alpha >0 \right) $

  $(1)$.请将$\psi $归一化
  $(2)$.请问最容易发现粒子的空间位置在什么地方?为什么?

$\psi \left( x \right) =A\sin \frac{\pi x}{a}$

◆ Problem 5 ◆

         [2025.T1] 已知一粒子在一维空间运动的波函数$\psi \left( x \right) =Ae^{-x^2/4\sigma ^2}$, $\sigma$为常数：
  $(1)$.求归一化常数$A$
  $(2)$.动量在$p\sim p+dp$的概率为$P(p)dp$，求$P(p)$
  $(3)$.求$\Delta x\cdot \Delta p$
    提示: $\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}}$

❏ Part 3 一维定态问题 ★★★★★

◆ Problem 1 ◆

        一个质量为 $\mu$ 的粒子在一维势场中运动，其势能函数为：$V(x) = \textstyle \begin{cases} 0, & |x| > a \\ -V_0, & |x| < a \end{cases}$，其中 $V_0>0$。求基态能量$E_0$满足的方程；求存在且仅存在一个束缚态的条件。

◆ Problem 2 ◆

        质量为$\mu$的粒子在势场$V\left( x \right) =-\alpha \delta \left( x \right) \left( \alpha >0 \right) $中运动，求束缚态能级和相应的波函数

◆ Problem 3 ◆

        质量为$\mu$的粒子处于一维势场：

$V(x) = \begin{cases} \infty & x \geq a \\ 0 & 0 < x < a \\ \infty & x = 0 \\ 0 & -a < x < 0 \\ \infty & x \leq -a \\ \end{cases}$

中，求定态能量$E$与波函数$\psi \left( x \right) $.

◆ Problem 4 ◆

        求在半壁无限深方势阱$V(x) = \textstyle \begin{cases} \infty, & x < 0 \\ 0, & 0 < x < a \\ V_0, & x > a \end{cases}$，中存在束缚态的条件$(V_0>0)$

◆ Problem 5 ◆

        [1995(理论型).T1]一个质量为$\mu$的粒子在一维势场：

$V(x) = \begin{cases} \infty & x < 0,x > a \\ \alpha \delta \left( x-\left( \alpha /2 \right) \right) & 0 < x < a \\ \end{cases}$

中运动，其中$\alpha$与$a$都是正的常数. 求第一激发态的能量，并讨论$\alpha \rightarrow 0$时的定态能量.

❏Part Last 笔记